Konjektur Collatz

Masalah yang belum terpecahkan dalam matematika:

Apakah pada akhirnya barisan Collatz akan berhenti di 1 untuk semua nilai awal bilangan bulat positif?

(lebih banyak masalah yang belum terpecahkan dalam matematika)

Konjektur Collatz adalah salah satu masalah yang belum terpecahkan yang terkenal dalam matematika, yang menanyakan apakah hasil akhir perhitungan dari dua operasi aritmetika akan berhenti di 1 untuk setiap bilangan bulat positif. Konjektur ini melibatkan barisan bilangan bulat, dengan tiap-tiap suku didapatkan dari suku sebelumnya. Dengan kata lain, jika suku sebelumnya genap, maka suku selanjutnya adalah setengah suku sebelumnya, dan jika suku sebelumnya ganjil, maka suku selanjutnya sama dengan 3 dikali suku sebelumnya, yang kemudian ditambah 1. Akan tetapi, hasil perhitungan untuk barisan tersebut dalam konjektur Collatz, bilangan bulat positif manapun yang ingin dipilih pada awalnya, akan selalu berhenti di 1.

Dalam peta Collatz, digraf berikut menunjukkan orbit dari bilangan kecil yang melewati bilangan genap. Konjektur Collatz mengatakan bahwa semua lintasan akan berhenti di 1.

Konjektur ini dinamai dari seorang matematikawan bernama Lothar Collatz, yang memperkenalkan gagasan ini pada tahun 1937. Konjektur ini juga dikenal dengan sebutan masalah 3n + 1, konjektur Ulam (dinamai dari Stanislaw Ulam), masalah Kakutani (dinamai dari Shizuo Kakutani), konjektur Thwaites (dinamai dari Sir Bryan Thwaites), algoritma Hasse (dinamai dari Helmut Hasse), atau masalah Syracuse.

Pernyataan

Misalkan $n$ menyatakan sebarang bilangan bulat positif. Jika $n$ adalah genap, maka $n$ dibagi dengan dua, dan jika $n$ adalah ganjil, maka kalikan $n$ dengan tiga dan tambahkan satu. Pernyataan ini dapat ditulis dengan menggunakan notasi aritmetika modular, dengan memisalkan $f$ adalah suatu fungsi yang didefinisikan sebagai

$$f(n)={\begin{cases}{\frac {n}{2}}&{\text{jika }}n\equiv 0{\pmod {2}}\\[4px]3n+1&{\text{jika }}n\equiv 1{\pmod {2}}.\end{cases}}$$

Agar membentuk suatu barisan, operasi-operasi tersebut dihitung secara berulang, dimulai dari setiap bilangan bulat positif, dan kemudian masukkan hasil tersebut ke langkah selanjutnya. Sebagai contoh, misalkan $n=10$, maka didapati hasil perhitungan tersebut yang ditulis sebagai barisan berikut: 10, 5, 9, 28, 14, 7, 11, 34, 17, 21, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ....