Kaidah dasar pendiferensialan
sunting
Kecuali dinyatakan lain, semua fungsi merupakan fungsi bilangan real (R ) yang menghasilkan nilai bilangan real; meskipun secara lebih umum, rumus-rumus berikut dapat diterapkan di manapun jika didefinisikan dengan baik [1] [2] bilangan kompleks (C ) .[3]
Pendiferensialan adalah linier
sunting
Untuk fungsi-fungsi f dan g dan bilangan real a dan b apapun, turunan fungsi h (x ) = af (x ) + bg (x )x dapat ditulis
h
′
(
x
)
=
a
f
′
(
x
)
+
b
g
′
(
x
)
.
{\displaystyle h'(x)=af'(x)+bg'(x).\,}
Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:
d
(
a
f
+
b
g
)
d
x
=
a
d
f
d
x
+
b
d
g
d
x
.
{\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}.}
Kasus-kasus khusus meliputi:
(
a
f
)
′
=
a
f
′
{\displaystyle (af)'=af'\,}
(
f
+
g
)
′
=
f
′
+
g
′
{\displaystyle (f+g)'=f'+g'\,}
(
f
−
g
)
′
=
f
′
−
g
′
.
{\displaystyle (f-g)'=f'-g'.\,}
Kaidah hasil kali
sunting
Untuk fungsi-fungsi f dan g , turunan fungsi h (x ) = f (x ) g (x ) terhadap x dapat ditulis
h
′
(
x
)
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
.
{\displaystyle h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\,}
Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:
d
(
f
g
)
d
x
=
d
f
d
x
g
+
f
d
g
d
x
.
{\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}={\frac {df}{dx}}g+f{\frac {dg}{dx}}.}
Turunan dari fungsi h (x ) = f (g (x )) terhadap x dapat ditulis
h
′
(
x
)
=
f
′
(
g
(
x
)
)
g
′
(
x
)
.
{\displaystyle h'(x)=f'(g(x))g'(x).\,}
Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:
d
h
d
x
=
d
f
(
g
(
x
)
)
d
g
(
x
)
d
g
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle {\frac {dh}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}{\frac {dg(x)}{dx}}.\,}
Namun, dengan melonggarkan penafsiran h sebagai suatu fungsi, dapat ditulis lebih sederhana sebagai
d
h
d
x
=
d
h
d
g
d
g
d
x
.
{\displaystyle {\frac {dh}{dx}}={\frac {dh}{dg}}{\frac {dg}{dx}}.\,}
Kaidah fungsi inversi
sunting
Jika fungsi f mempunyai suatu fungsi invers g , yaitu g (f (x )) = x f (g (y )) = y
g
′
=
1
f
′
∘
g
.
{\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}.}
Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:
d
x
d
y
=
1
d
y
/
d
x
.
{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{dy/dx}}.}
Hukum pangkat, polinomial, hasil bagi, dan timbal-balik
sunting
Kaidah pangkat polinomial atau elementer
sunting
Jika
f
(
x
)
=
x
n
{\displaystyle f(x)=x^{n}}
bilangan bulat n apapun maka
f
′
(
x
)
=
n
x
n
−
1
.
{\displaystyle f'(x)=nx^{n-1}.\,}
Kasus-kasus khusus meliputi:
Kaidah konstanta : jika f adalah fungsi konstanta f (x ) = c , untuk bilangan c apapun, maka untuk semua x , f′ (x ) = 0.jika f (x ) = x , maka f′ (x ) = 1. Kasus khusus ini dapat digeneralisasi menjadi:
Turunan suatu fungsi affine adalah suatu konstanta : jika f (x ) = ax + b , maka f′ (x ) = a . Penggabungan kaidah ini dengan kelinearan turunan dan kaidah penjumlahan memungkinan penghitungan turunan polinomial apapun.
Kaidah timbal-balik
sunting
Turunan dari h (x ) = 1/f (x ) untuk fungsi f (yang "tidak menghilang"; nonvanishing ) manapun adalah:
h
′
(
x
)
=
−
f
′
(
x
)
(
f
(
x
)
)
2
.
{\displaystyle h'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}}.\ }
Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:
d
(
1
/
f
)
d
x
=
−
1
f
2
d
f
d
x
.
{\displaystyle {\frac {d(1/f)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}.\,}
Kaidah timbal balik (reciprocal rule ) dapat diturunkan dari kaidah rantai (chain rule ) dan kaidah pemangkatan (kaidah pangkat; power rule ).
Kaidah hasil bagi
sunting
Jika f dan g adalah fungsi, maka:
(
f
g
)
′
=
f
′
g
−
g
′
f
g
2
{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad }
g bukan nol.Ini dapat diturunkan dari kaidah timbal balik dan kaidah darab. Sebaliknya (menggunakan kaidah konstanta) kaidah timbal balik dapat diturunkan dari kasus khusus f (x ) = 1.
Kaidah pemangkatan yang dirampat
sunting
Kaidah pemangkatan elementer menggeneralisasi luas. Kaidah pemangkat yang paling luas adalah "kaidah pemangkatan fungsional" (functional power rule ): untuk fungsi-fungsi f dan g apappun,
(
f
g
)
′
=
(
e
g
ln
f
)
′
=
f
g
(
f
′
g
f
+
g
′
ln
f
)
,
{\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad }
di mana kedua sisi didefinisikan dengan baik.
Kasus-kasus khusus:
Jika f (x ) = x a f′ (x ) = ax a − 1a adalah suatu bilangan real dan x adalah positif.
Kaidah timbal balik (reciprocal rule ) dapat diturunkan sebagai kasus khsusu di mana g (x ) = −1. Turunan fungsi eksponensial dan logaritmik
sunting
d
d
x
(
c
a
x
)
=
c
a
x
ln
c
⋅
a
,
c
>
0
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(c^{ax}\right)={c^{ax}\ln c\cdot a},\qquad c>0}
perhatikan bahwa persamaan di atas adalah benar untuk semua c , tetapi turunan bagi c < 0 menghasilkan bilangan kompleks.
d
d
x
(
e
x
)
=
e
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(e^{x}\right)=e^{x}}
d
d
x
(
log
c
x
)
=
1
x
ln
c
,
c
>
0
,
c
≠
1
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\log _{c}x\right)={1 \over x\ln c},\qquad c>0,c\neq 1}
persamaan di atas adalah benar untuk semua c , tetapi turunan bagi c < 0 menghasilkan bilangan kompleks.
d
d
x
(
ln
x
)
=
1
x
,
x
>
0
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln x\right)={1 \over x},\qquad x>0}
d
d
x
(
ln
|
x
|
)
=
1
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln |x|\right)={1 \over x}}
d
d
x
(
x
x
)
=
x
x
(
1
+
ln
x
)
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(x^{x}\right)=x^{x}(1+\ln x).}
Turunan logaritmik
sunting
Turunan logaritmik adalah cara lain untuk menyatakan kaidah diferensiasi logaritma suatu fungsi (menggunakan kaidah rantai):
(
ln
f
)
′
=
f
′
f
{\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad }
f is positive. Turunan fungsi trigonometri
sunting
(
sin
x
)
′
=
cos
x
{\displaystyle (\sin x)'=\cos x\,}
(
arcsin
x
)
′
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle (\arcsin x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,}
(
cos
x
)
′
=
−
sin
x
{\displaystyle (\cos x)'=-\sin x\,}
(
arccos
x
)
′
=
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle (\arccos x)'=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,}
(
tan
x
)
′
=
sec
2
x
=
1
cos
2
x
=
1
+
tan
2
x
{\displaystyle (\tan x)'=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x\,}
(
arctan
x
)
′
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle (\arctan x)'={1 \over 1+x^{2}}\,}
(
sec
x
)
′
=
sec
x
tan
x
{\displaystyle (\sec x)'=\sec x\tan x\,}
(
arcsec
x
)
′
=
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle (\operatorname {arcsec} x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,}
(
csc
x
)
′
=
−
csc
x
cot
x
{\displaystyle (\csc x)'=-\csc x\cot x\,}
(
arccsc
x
)
′
=
−
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle (\operatorname {arccsc} x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,}
(
cot
x
)
′
=
−
csc
2
x
=
−
1
sin
2
x
=
−
(
1
+
cot
2
x
)
{\displaystyle (\cot x)'=-\csc ^{2}x={-1 \over \sin ^{2}x}=-(1+\cot ^{2}x)\,}
(
arccot
x
)
′
=
−
1
1
+
x
2
{\displaystyle (\operatorname {arccot} x)'=-{1 \over 1+x^{2}}\,}
Adalah lazim untuk mendefinisikan lebih lanjut suatu fungsi tangen inversi dengan dua argumen,
arctan
(
y
,
x
)
{\displaystyle \arctan(y,x)}
[
−
π
,
π
]
{\displaystyle [-\pi ,\pi ]}
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
x
>
0
{\displaystyle x>0}
arctan
(
y
,
x
>
0
)
=
arctan
(
y
/
x
)
{\displaystyle \arctan(y,x>0)=\arctan(y/x)}
∂
arctan
(
y
,
x
)
∂
y
=
x
x
2
+
y
2
{\displaystyle {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial y}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}}
∂
arctan
(
y
,
x
)
∂
x
=
−
y
x
2
+
y
2
.
{\displaystyle {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial x}}={\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}.}
Turunan fungsi hiperbolik
sunting
(
sinh
x
)
′
=
cosh
x
=
e
x
+
e
−
x
2
{\displaystyle (\sinh x)'=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}
(
arsinh
x
)
′
=
1
x
2
+
1
{\displaystyle (\operatorname {arsinh} \,x)'={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}}
(
cosh
x
)
′
=
sinh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
{\displaystyle (\cosh x)'=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
(
arcosh
x
)
′
=
1
x
2
−
1
{\displaystyle (\operatorname {arcosh} \,x)'={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
(
tanh
x
)
′
=
sech
2
x
{\displaystyle (\tanh x)'={\operatorname {sech} ^{2}\,x}}
(
artanh
x
)
′
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle (\operatorname {artanh} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}}
(
sech
x
)
′
=
−
tanh
x
sech
x
{\displaystyle (\operatorname {sech} \,x)'=-\tanh x\,\operatorname {sech} \,x}
(
arsech
x
)
′
=
−
1
x
1
−
x
2
{\displaystyle (\operatorname {arsech} \,x)'=-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}}
(
csch
x
)
′
=
−
coth
x
csch
x
{\displaystyle (\operatorname {csch} \,x)'=-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x}
(
arcsch
x
)
′
=
−
1
|
x
|
1
+
x
2
{\displaystyle (\operatorname {arcsch} \,x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}
(
coth
x
)
′
=
−
csch
2
x
{\displaystyle (\operatorname {coth} \,x)'=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x}
(
arcoth
x
)
′
=
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle (\operatorname {arcoth} \,x)'=-{1 \over 1-x^{2}}}
Turunan fungsi-fungsi khusus
sunting
Turunan integral
sunting
Misalkan dibutuhkan untuk menghitung turunan terhadap x dalam fungsi
F
(
x
)
=
∫
a
(
x
)
b
(
x
)
f
(
x
,
t
)
d
t
,
{\displaystyle F(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,}
di mana fungsi-fungsi
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle f(x,t)\,}
∂
∂
x
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\,}
t
{\displaystyle t\,}
x
{\displaystyle x\,}
(
t
,
x
)
{\displaystyle (t,x)\,}
a
(
x
)
≤
t
≤
b
(
x
)
,
{\displaystyle a(x)\leq t\leq b(x),}
x
0
≤
x
≤
x
1
{\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}\,}
a
(
x
)
{\displaystyle a(x)\,}
b
(
x
)
{\displaystyle b(x)\,}
x
0
≤
x
≤
x
1
{\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}\,}
x
0
≤
x
≤
x
1
{\displaystyle \,x_{0}\leq x\leq x_{1}\,\,}
F
′
(
x
)
=
f
(
x
,
b
(
x
)
)
b
′
(
x
)
−
f
(
x
,
a
(
x
)
)
a
′
(
x
)
+
∫
a
(
x
)
b
(
x
)
∂
∂
x
f
(
x
,
t
)
d
t
.
{\displaystyle F'(x)=f(x,b(x))\,b'(x)-f(x,a(x))\,a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\;dt\,.}
Rumus ini merupakan bentuk umum dari kaidah integral Leibniz dan dapat diturunkan menggunakan
Teorema fundamental kalkulus .
Ada sejumlah kaidah untuk menghitung turunan ke-n suatu fungsi, di mana n adalah sebuah bilangan bulat positif. Di antaranya:
Rumus Faà di Bruno
sunting
Jika f dan g dapat diturunkan n kali, maka
d
n
d
x
n
[
f
(
g
(
x
)
)
]
=
n
!
∑
{
k
m
}
f
(
r
)
(
g
(
x
)
)
∏
m
=
1
n
1
k
m
!
(
g
(
m
)
(
x
)
)
k
m
{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_{m}\}}^{}f^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{k_{m}!}}\left(g^{(m)}(x)\right)^{k_{m}}}
di mana
r
=
∑
m
=
1
n
−
1
k
m
{\displaystyle r=\sum _{m=1}^{n-1}k_{m}}
{
k
m
}
{\displaystyle \{k_{m}\}}
∑
m
=
1
n
m
k
m
=
n
{\displaystyle \sum _{m=1}^{n}mk_{m}=n}
Kaidah Leibniz umum
sunting
Jika f dan g dapat diturunkan n kali, maka
d
n
d
x
n
[
f
(
x
)
g
(
x
)
]
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
d
n
−
k
d
x
n
−
k
f
(
x
)
d
k
d
x
k
g
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x)}
^ Calculus (5th edition) , F. Ayres, E. Mendelson, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-150861-2 .^ Advanced Calculus (3rd edition) , R. Wrede, M.R. Spiegel, Schuam's Outline Series, 2010, ISBN 978-0-07-162366-7 .^ Complex Variables , M.R. Speigel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outlines Series, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161569-3
Sumber dan pustaka tambahan
sunting
Kaidah-kaidah ini ditulis dalam banyak buku, baik kalkulus elementer maupun lanjutan, dalam matematika murni maupun terapan. Notasi dalam halaman ini (selain pada rujukan-rujukan di atas) dapat dijumpai dalam:
Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition) , S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7 .The Cambridge Handbook of Physics Formulas , G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 .Mathematical methods for physics and engineering , K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3 NIST Handbook of Mathematical Functions , F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, C. W. Clark, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-19225-5 . 
![{\displaystyle [-\pi ,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb064fd6c55820cfa660eabeeda0f6e3c4935ae6)
![{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_{m}\}}^{}f^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{k_{m}!}}\left(g^{(m)}(x)\right)^{k_{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6db9fc6a48b3658dc330625f3c027300228b82b0)
![{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63405be1615e41e5620d8b0c45f48b7dd7e6f2ef)