Identitas Pythagoras

Identitas Pythagoras, atau identitas trigonometri Pythagoras (bahasa Inggris: Pythagorean trigonometric identity), adalah identitas yang menyatakan teorema Pythagoras dalam fungsi trigonometri. Bersama dengan rumus jumlah dan selisih sudut, identitas ini adalah salah satu relasi dasar antara fungsi sinus dan kosinus. Identitas tersebut dirumuskan sebagai

$$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,$$

untuk setiap bilangan riil $\theta$, dengan sin² θ yang berarti ${\textstyle (\sin \theta )^{2}}$.

Bukti identitas beserta hubungannya dengan teorema Pythagoras

Kesebangunan dua segitiga yang menghasilkan sinus dan kosinus dengan sudut θ

Bukti menggunakan bangun segitiga siku-siku

Diberikan bangun segitiga siku-siku dengan panjang c sebagai sisi miringnya, serta a dan b untuk sisi lainnya, dengan a, b, c sembarang bilangan riil positif yang memenuhi teorema Pythagoras, yaitu

$$a^{2}+b^{2}=c^{2}.$$

Dari informasi tadi, maka dapat memungkinkan untuk mengonstruksi segitiga siku-siku yang sebangun, dengan faktor dilatasi sebesar ${\textstyle {\frac {1}{c}}}$. Dengan demikian, panjang sisi miring segitiga yang baru ialah 1, dan panjang sisi yang lain ialah ${\textstyle {\frac {a}{c}}}$ dan ${\textstyle {\frac {b}{c}}}$. Karena segitiga yang telah didilatasi masih merupakan segitiga siku-siku, maka menurut teorema Pythagoras,

$${\left({\frac {a}{c}}\right)}^{2}+{\left({\frac {b}{c}}\right)}^{2}=1.$$

Definisi dasar dari fungsi sinus dan kosinus terhadap panjang sisi segitiga siku-siku ialah:

$${\begin{aligned}\sin \theta &={\frac {\mathrm {sisi\;depan} }{\mathrm {sisi\;miring} }}={\frac {b}{c}}\\\cos \theta &={\frac {\mathrm {sisi\;samping} }{\mathrm {sisi\;miring} }}={\frac {a}{c}}\end{aligned}}$$

Substitusikan kedua definisi dasar tersebut, maka diperoleh

$$\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1.$$

Akan tetapi, langkah pembuktiannya belum selesai, lantaran konstruksinya mengandalkan kesebangunan dua segitiga siku-siku (dengan ${\textstyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$), sehingga relasi trigonometri akan digunakan untuk melengkapi pembuktiannya.

Selang interval π/2 sampai π

Misalkan sudut $\alpha$ berada pada selang interval ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}\leq \alpha <\pi }$. Maka, terdapat suatu nilai $\theta$ sedemikian sehingga ${\textstyle \alpha =\theta +{\frac {\pi }{2}}.}$ Dari informasi di atas, maka diperoleh

$${\begin{aligned}\sin \alpha &=\sin \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)\\&=\cos \theta \\\\\cos \alpha &=\cos \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)\\&=-\sin \theta \end{aligned}}$$

sehingga diperoleh

$$\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha ={\left(\cos \theta \right)}^{2}+{\left(-\sin \theta \right)}^{2}=\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$$

Selang interval -π sampai 0

Misalkan sudut $\beta$ berada pada selang interval $-\pi <\beta <0$. Maka, terdapat suatu nilai $\theta$ sedemikian sehingga $\beta =-\theta$. Dari informasi di atas, maka diperoleh

$${\begin{aligned}\sin \beta &=\sin \left(-\theta \right)\\&=-\sin \theta \\\\\cos \beta &=\cos \left(-\theta \right)\\&=-\cos \theta \end{aligned}}$$

sehingga diperoleh

$$\sin ^{2}\beta +\cos ^{2}\beta ={\left(-\sin \theta \right)}^{2}+{\left(-\cos \theta \right)}^{2}=\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1.$$

Karena fungsi sinus dan kosinus merupakan fungsi periodik, maka persamaan

$$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$$

berlaku untuk setiap bilangan riil $x$, dan selesailah pembuktiannya.

Identitas yang berkaitan

Dua segitiga siku-siku yang sebangun mengilustrasikan fungsi trigonometri tangen dan sekan.

Visualisasi semua fungsi trigonometri pada lingkaran satuan. Teorema Pythagoras yang diterapkan pada segitiga biru menunjukkan persamaan identitas 1 + cot² θ = csc² θ, dan pada segitiga merah menunjukkan 1 + tan² θ = sec² θ.

Identitas

$$1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta$$

dan

juga disebut sebagai identitas Pythagoras. Apabila salah satu sisi tegak lurus segitiganya memiliki panjang 1, maka nilai tangen dari sudut yang disamping adalah panjang sisi tegak lurus yang satunya, dan nilai sekan sudutnya ialah panjang sisi miringnya.

$\tan \theta ={\frac {b}{a}}$ dan $\sec \theta ={\frac {c}{a}}$

Dengan cara ini, identitas trigonometri ini melibatkan fungsi tangen dan sekan yang didapatkan dari teorema Pythagoras. Sudut yang berhadapan dengan sisi depan yang panjangnya  1 (sudut ini dapat ditandai sebagai $\varphi ={\tfrac {\pi }{2}}-\theta$) memiliki nilai kotangen yang sama dengan panjang sisi tegak lurus lainnya, dan nilai kosekannya sama dengan panjang sisi miringnya. Dengan cara ini, identitas trigonometri ini melibatkan kotangen dan kosekan juga, yang didapatkan dari teorema Pythagoras.

Tabel berikut memberikan ilustrasi cara mendapatkan kedua identitas baru dengan suatu pembagi yang mengaitkan mereka dengan identitas utama.

Identitas awal	Pembagi	Hasil pembagian	Identitas baru	Identitas baru (Alternatif)
$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$	$\cos ^{2}\theta$	${\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}+{\frac {\cos ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}$	$\tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta$	${\begin{aligned}\sec ^{2}\theta -\tan ^{2}\theta =1\\(\sec \theta -\tan \theta )(\sec \theta +\tan \theta )=1\\\end{aligned}}$
	$\sin ^{2}\theta$	${\frac {\sin ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}+{\frac {\cos ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}={\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}$	$1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta$	${\begin{aligned}\csc ^{2}\theta -\cot ^{2}\theta =1\\(\csc \theta -\cot \theta )(\csc \theta +\cot \theta )=1\\\end{aligned}}$

Bukti menggunakan lingkaran satuan

Artikel utama: lingkaran satuan

Titik P (x, y) pada lingkaran satuan dengan sudut tumpul θ > π/2

Fungsi sinus pada lingkaran satuan (atas) dan grafiknya (bawah)

Lingkaran satuan yang berpusat pada titik asal di ruang Euklides didefinisikan dengan rumus:

$x^{2}+y^{2}=1.$

Diberikan suatu sudut $\theta$, maka terdapat satu buah titik $P$ pada lingkaran satuan dengan sudut $\theta$ dari sumbu-$x$, dengan koordinat $x$ dan $y$ dari titik $y$ ialah:

$x=\cos \theta$ dan $y=\sin \theta$

Akibatnya, dari persamaan lingkaran satuan, maka diperoleh:

$\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1\ ,$

yang merupakan identitas Pythagoras.

Pada gambar berikut, titik $P$ memiliki koordinat-$x$ yang negatif, dan itu didapatkan dari $x=\cos \theta$, yang merupakan bilangan negatif: $\cos \theta =-\cos(\pi -\theta )$. Titik $P$ memiliki koordinat-$y$ yang positif, lantaran $\sin \theta =\sin(\pi -\theta )>0$. Saat θ bertambah dari nol menuju satu lingkaran penuh ($\theta =2\pi$), nilai sinus dan kosinusnya berganti tanda di berbagai kuadran agar tanda $x$ dan $y$ nya benar. Gambar berikut menunjukkan beragam tanda pada fungsi sinus saat sudutnya berpindah kuadran.

Oleh karena sumbu-$x$ dan sumbu-$y$ itu tegak lurus, identitas Pythagoras ini setara dengan teorema Pythagoras untuk segitiga yang panjang sisi miringnya 1 (yang pada akhirnya setara dengan teorema Pythagoras secara utuh dengan menggunakan argumen kesebangunan segitiga). Lihat lingkaran satuan untuk penjelasan singkat.

Bukti menggunakan deret pangkat

Fungsi trigonometri bisa juga didefinisikan menggunakan deret pangkat, yaitu:

$${\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1},\\\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n},\end{aligned}}$$

dengan asumsi satuan $x$ adalah radian. Dengan menggunakan aturan perkalian pada deret pangkat, maka diperoleh :

$${\begin{aligned}\sin ^{2}x&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i+1)!}}{\frac {(-1)^{j}}{(2j+1)!}}x^{(2i+1)+(2j+1)}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{n}}{(2i+1)!(2(n-i)+1)!}}\right)x^{2n+2}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{n-1}}{(2i+1)!(2(n-i-1)+1)!}}\right)x^{2n}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{n-1}}{(2i+1)!(2n-(2i+1))!}}\right)x^{2n}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n-1}{2n \choose 2i+1}\right){\frac {(-1)^{n-1}}{(2n)!}}x^{2n}\\\\\cos ^{2}x&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i)!}}{\frac {(-1)^{j}}{(2j)!}}x^{(2i)+(2j)}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{n}}{(2i)!(2(n-i))!}}\right)x^{2n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}{2n \choose 2i}\right){\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\end{aligned}}$$

Dalam ekspansi $\sin ^{2}x$, nilai $n$ dimulai dari 1, sedangkan nilai $n$ dimulai dari 0 pada ekspansi $\cos ^{2}x$. Agar nilai $n$ sama-sama dimulai dari 1, dapat dilakukan sedikit manupulasi (dengan bantuan dari teorema binomial) :

$${\begin{aligned}\sin ^{2}x+\cos ^{2}x&=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n-1}{2n \choose 2i+1}\right){\frac {(-1)^{n-1}}{(2n)!}}x^{2n}+\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}{2n \choose 2i}\right){\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\\&=\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n-1}{2n \choose 2i+1}\right){\frac {(-1)^{n-1}}{(2n)!}}x^{2n}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}{2n \choose 2i}\right){\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\right)+\underbrace {\sum _{i=0}^{0}{2\cdot 0 \choose 2i}{\frac {(-1)^{0}}{(2\cdot 0)!}}x^{2\cdot 0}} _{n=0}\\&=\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\left(\sum _{i=1}^{n}{2n \choose 2i}-\sum _{i=1}^{n-1}{2n \choose 2i+1}\right)\right)+{2\cdot 0 \choose 2\cdot 0}{\frac {1}{0!}}x^{0}\\&=\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\left(\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{2n \choose k}\right)\right)+{0 \choose 0}{\frac {1}{1}}\cdot 1\\&=\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}{\left(1-1\right)}^{2n}\right)+1\cdot 1\\&=\left(\sum _{n=1}^{\infty }0\right)+1\\&=1\end{aligned}}$$

Akibatnya,

$$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$$

yang merupakan identitas Pythagoras.

Bukti menggunakan rumus Euler

Rumus Euler menyatakan bahwa

$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .$$

Maka,

$$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =\sin ^{2}\theta -(-\cos ^{2}\theta )=(\sin \theta )^{2}-(i\cos \theta )^{2}=(\cos \theta +i\sin \theta )(\cos \theta -i\sin \theta )=e^{i\theta }\cdot e^{-i\theta }=1.$$

Lihat pula

• Teorema Pythagoras
• Daftar identitas trigonometri
• Lingkaran satuan
• Deret pangkat