Aturan kosinus

Dalam trigonometri, aturan kosinus, rumus kosinus, hukum kosinus, atau rumus al-Kāshī, adalah persamaan yang memberikan hubungan antara panjang sisi-sisi segitiga dengan kosinus sudut pada segitiga tersebut. Menggunakan notasi pada Gambar 1, aturan kosinus menyatakan

Gambar 1 – Label-label yang disesuaikan dengan hukum kosinus. Sudut α (juga A), β (juga B), dan γ (juga C) masing-masing adalah sudut yang menghadap sisi a, b, dan c.

$$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma ,$$

dengan γ menyatakan besar sudut yang diapit oleh sisi a dan b, dan yang menghadap sisi c. Dengan menggunakan gambar yang sama, dua persamaan lain dapat diperoleh:

$$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha ,$$

$$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta .$$

Aturan kosinus memperumum teorema Pythagoras, yang hanya berlaku untuk segitiga siku-siku: jika sudut γ siku-siku (nilainya 90 derajat atau π2 radian), maka nilai cos γ = 0, dan akibatnya aturan kosinus berubah menjadi teorema Pythagoras,

$$c^{2}=a^{2}+b^{2}.$$

Aturan kosinus berguna untuk mencari panjang sisi ketiga dari segitiga jika hanya diketahui panjang dua sisi dan besar sudut yang diapit dua sisi tersebut. Penggunaan lain dari aturan ini adalah untuk menentukan besar sudut pada segitiga jika semua panjang sisinya diketahui.

Sejarah

Gambar 2 – Segitiga tumpul ABC dengan sisi BH yang tegak lurus dengan sisi AC

Walaupun konsep kosinus belum dikembangkan pada masanya, Euklides dalam bukunya Elemen (sekitar 300 SM), memberikan teorema geometrik yang hampir sama dengan aturan kosinus. Dalam buku tersebut membahas dua kasus: segitiga lancip dan segitiga tumpul, yang masing-masing bersesuaian dengan kasus nilai kosinus positif dan nilai kosinus negatif. Menggunakan notasi yang tertera pada Gambar 2, teorema oleh Euklides dapat ditulis sebagai

$$AB^{2}=CA^{2}+CB^{2}+2(CA)(CH).$$

Rumus tersebut dapat diubah menjadi aturan kosinus dengan mensubtitusi CH = (CB) cos(π − γ) = −(CB) cos γ.

Perkembangan trigonometri di zaman keemasan Islam memperluas cakupan dan memperbaiki bentuk dari teorema oleh Euklides tersebut. Pada abad kesepuluh, Al-Battani memperumum hasil perolehan Euklid untuk geometri bola. Pada abad kelima belas, dengan telah dikenalnya fungsi trigonometri, Jamshīd al-Kāshī untuk pertama kalinya menyatakan aturan kosinus dalam rumus yang mudah dipakai dalam proses triangulasi. Rumus ini dipopulerkan di dunia barat oleh François Viète pada abad keenam belas. Selanjutnya pada awal abad ke-19, penggunaan notasi aljabar yang modern memungkinkan aturan kosinus ditulis dalam bentuk yang dikenal saat ini.

Penerapan

Gambar 3 – Aturan kosinus dapat digunakan untuk menentukan panjang sisi maupun besar sudut yang tidak diketahui.

Aturan kosinus dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah triangulasi. Ada beberapa kasus yang dapat diselesaikan secara langsung dengan aturan ini (lihat Gambar 3):

• Menentukan panjang sisi ketiga dari segitiga, jika diketahui panjang kedua sisi lainnya dan besar sudut yang diapit oleh dua sisi tersebut:
  $$\,c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}\,;$$

• Besar titik sudut pada segitiga (dalam radian) jika panjang semua sisi diketahui:
  $$\,\gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)\,;$$

Persamaan-persamaan ini menghasilkan galat pembulatan yang besar jika segitiga sangat lancip, maksudnya panjang c jauh lebih kecil daripada panjang a dan b, atau sudut γ jauh lebih kecil daripada 1.

Bukti

Menggunakan teorema Phytagoras

Perhatikan gambar berikut. Dengan teorema Pythagoras dapat ditulis

$c^{2}=a_{1}^{2}+h^{2}$ atau $c^{2}=(a-a_{2})^{2}+h^{2}$

dan

$b^{2}=h^{2}+a_{2}^{2}$

akibatnya diperoleh

$h^{2}=c^{2}-(a-a_{2})^{2}=b^{2}-a_{2}^{2}$

dapat diturunkan

${\begin{aligned}c^{2}&=b^{2}+(a-a_{2})^{2}-a_{2}^{2}\\&=b^{2}+a^{2}-2aa_{2}+a_{2}^{2}-a_{2}^{2}\\&=b^{2}+a^{2}-2aa_{2}\end{aligned}}$

Dari definisi kosinus, dapat ditulis $a_{2}=b\cos(\gamma )$. Sehingga bentuk persamaan di atas dapat ditulis

$c^{2}=b^{2}+a^{2}-2ab\cos(\gamma )$

Lihat pula

• Triangulasi
• Hukum sinus