Arg max
Dalam matematika, argumen dari maksimum (arguments of the maxima, disingkat sebagai arg max atau argmax), adalah titik, atau elemen, pada domain suatu fungsi yang menghasilkan nilai terbesar dari fungsi tersebut. Berbeda dengan maksimum global yang merujuk pada nilai keluaran terbesar dari sebuah fungsi, argmax merujuk pada nilai input (argumen) dari fungsi, yang ketika dievaluasi akan menghasilkan nilai keluaran terbesar fungsi tersebut.
Definisi sunting
Untuk sebarang himpunan , himpunan dengan urutan total, dan sebuah fungsi , nilai pada suatu subset dari didefinisikan sebagai
Pada kasus atau jelas dari konteks pembicaraan, umumnya tidak ditulis; sebagai contoh:
Pada bidang analisis konveks dan analisis variasi, definisi yang sedikit berbeda digunakan untuk kasus khusus ketika adalah bilangan real yang diperluas (extended real numbers).[2] Dalam kasus khusus ini, jika nilai secara identik sama dengan pada , maka (dengan kata lain, ). Sedangkan pada kasus lainnya didefinisikan sama dengan definisi pada umumnya, yang juga dapat ditulis sebagai:
Arg min sunting
Istilah (atau ) yang merujuk pada argumen dari minimum, didefinisikan serupa seperti . Sebagai contoh,
adalah titik-(titik) yang menyebabkan menghasilkan nilai terkecilnya. Operator ini adalah komplemen dari . Pada kasus khusus merupakan bilangan real yang diperluas, jika nilai identik dengan pada maka (dengan kata lain, ). Sedangkan pada kasus lainnya (yakni nilai tidak sama dengan ) , punya definisi yang sama dengan definisi pada umumnya. Selain itu, argmin juga memenuhi:
Contoh sunting
Sebagai contoh, jika didefinisikan sebagai maka akan mencapai nilai maksimum hanya pada titik Dengan demikian,
Operator berbeda dengan operator . Operator ketika diterapkan pada fungsi akan menghasilkan nilai maksimum dari fungsi tersebut, bukan himpunan titik yang membuat fungsi menghasilkan nilai maksimum tersebut. Secara lebih formal,
- adalah elemen dari himpunan
Sifat sunting
Ada beberapa operasi yang tidak mengubah himpunan yang dihasilkan oleh argmax. Karena argmax didefinisikan oleh sebuah pertidaksamaan, operasi-operasi berikut pada dasarnya berupa operasi yang mengawetkan pertidaksamaan. Berikut adalah beberapa contohnya:[3]
- Jika adalah sebuah konstanta, maka
- Jika , maka
- Jika , maka
- Jika , maka
- Jika fungsi monotonik secara tegas, yakni menyebabkan , terdapat hubungan
Sifat terakhir sering digunakan dalam perhitungan yang melibatkan probabilitas. Perkalian probabilitas dapat ditransformasi menjadi penjumlahan log-probabilitas dengan menerapkan fungsi monotonik tegas . Dengan kata lain
Referensi sunting
- ^ "The Unnormalized Sinc Function Diarsipkan 2017-02-15 di Wayback Machine.", University of Sydney
- ^ a b c Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J.-B (26 June 2009). Variational Analysis. Volume 317 of Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Springer Berlin Heidelberg. hlm. 1–37. ISBN 9783642024313. OCLC 883392544.
- ^ https://www.cs.ubc.ca/~schmidtm/Documents/2016_540_Argmax.pdf